人懒是第一生产力

前几天做数学题被老师教的待定系数法干死了，导来导去复杂的一笔，而且遇到那种$e\cdot\sin\left(x\right)$的，直接就抓瞎，更别提多项式+指数+三角函数的折磨组合

所以，我和Gemini通过指数位移定理和算子法，推导出了一个非常简单，非常好理解的方法

只要右侧是含有$P_{m}\left(x\right)e^{\lambda}x,P_{m}\left(x\right)\cos\left(kx\right),P_{m}\left(x\right)\sin\left(kx\right)$的，都可以解决

本文方法不适用于变系数方程，也不试图替代拉格朗日变参数法的理论完整性。

那么，怎么用呢？

针对含$e^{x}$的微分方程

针对形如$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=P_{m}\left(x\right)e^{\lambda x}$这样的二阶非齐次微分方程，很容易观察得到，如果我们用传统的待定系数法，这个是一定会被消掉的

对等号右侧，按照传统的待定系数法，我们需要根据左侧解的情况来设定右侧有几个未知数，然后带回求解

这里，我们使用的U函数法，可以直接设一个特解为

$$ y=u\left(x\right)e^{\lambda x} $$

然后呢，通过下面的式子，直接解出$u\left(x\right)$，带回原式

$$ au^{\prime\prime}+\left(2a\lambda+b\right)u^{\prime}+\left(a\lambda^2+b\lambda+c\right)u=P_{m}\left(x\right) $$

记不住这个？

下面是口诀，设左侧特征根方程为$Q\left(r\right)=ar^2+br+c$

这个方法的好处在于什么呢

• 不需要考虑共振问题（积分的时候会算出来最终的不共振的结果）

• 不需要考虑未知数

• 只需要积分，狠狠积分就行了

针对含三角函数的微分方程

如果右侧是$cos(kx)$这样的式子怎么办呢？可以直接使用欧拉公式，把他变到复数域上去解决

无论你右侧是$cos(kx)$还是$sin(kx)$，一律将他变为$e^{ikx}$

然后继续按照上面的解法写

写到最后，我们还会得到一个$u(x)$的解，此时，为了得到特解，我们需要把$e^{ikx}$再展开回三角函数的形式

如果原本是$sin(kx)$，就把乘积得到的虚部作为特解，是$cos(kx)$，就把实部作为特解

这样根本不需要考虑任何共振，最后都会解出来无共振的结果，积分就是王道

例题：